1) Обозначим параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 с нижним основанием АВСД. Найдем диагонали параллелепипеда А1С и В1Д. АВСД является параллелограммом, найдем его диагонали АС и ВД, используя теорему косинусов: АС в квадрате=АД в квадрате + ДС в квадрате — 2АД*ДС*cos 135=16+18 — 2*4*3 корня из 2*cos (180 — 45)=34 — 24 корня из 2*(-cos45)=34+24 корня из 2*(корень из 2/2)=58. Треугольник АА1С — прямоугольный с прямым углом А, По теореме ПифагораА1С в квадрате=АА1 в квадрате + АС в квадрате=144+58=202, тогда А1С=корень из 202 (см) В параллелограмме АВСД найдем другую диагональ ВД также по теореме косинусов. Угол ВАД=180 — 135=45 град. В треугольнике АВД по теореме косинусов: ВД в квадрате=АВ в квадрате + АД в квадрате — 2*АВ*АД*cos 45=18+16 — 2*3 корня из 2*4*(корень из 2/2)=34 — 24=10Треугольник ВДВ1 — прямоугольный с прямым углом В1ВД. По теореме Пифагора: В1Д в квадрате=ВВ1 вквадрате + ВД в квадрате=144+100=244, тогдаВ1Д=корень из 244=2 корня из 61. Ответ: А1С=корень из 202 см, В1Д=2 корня из 61 см.2) Обозначим куб АВСДА1В1С1Д1 с нижним основанием АВСД. Возьмем скрещивающиеся прямые А1В1 и ДС. Отметим их середины соответственно К — середина А1В1, М — середина ДД1. Отметим середину Ребра Д1С1 точкой N. Соединим точки К, N и М, получим треугольник КМN. Т. К. KN перпендикулярно плоскости Д1С1СД, то КN будет перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой NM, значит треуг. КNM — прямоугольный с прямым углом N. Найдем в нем КN и МN. Т. К. Ребро куба равно 2 см, то КN=В1C1=2 см. Треугольник МД1N — прямоугольный, где угол Д1- прямой, по теореме пифагора МN в квадрате=Д1N в квадрате + Д1М в квадрате=1+1=2, тогда МN=корень из 2. В треугю КNД по теореме Пифагора найдем искомое расстояние КМ. КМ в квадрате=КN в квадрате + МN в квадрате=4+2=6, тогда КМ=корень из 6 см. Ответ: КМ=корень из 6 см
