Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое…

Решение: Любое натуральное число N представимо в виде произведения N=(p1k1)*(p2k2)*… и т.д., где p1, p2 и т.д. — простые числа, а k1, k2 и т.д. — целые неотрицательные числа. Например, 15=(31)*(51) 72=8*9=(23)*(32) Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно (k1+1)*(k2+1)*… Итак, по условию, P=N1*N2*… *N11, где N1=(p1k[1,1])*(p2k[1,2])*… N2=(p1k[2,1])*(p2k[2,2])*… , а это значит, что P=(p1 (k[1,1]+k[2,1]+… +k[11,1])*(p2 (k[1,2]+k[2,2]+… +k[11,2])*… , и общее количество натуральных делителей числа P равно (k[1,1]+k[2,1]+… +k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+… +k[11,2]+1)*… Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1… N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1=p, N2=p2, … N11=p11. То есть, например, N1=21=2, N2=22=4, N3=23=8,… N11=211=2048. Тогда количество натуральных делителей числа P равно 1+(1+2+3+… +11)=67.