Понятно, что a>=0. Левая часть переписывается как |x|^2 — 8|x|+12, поэтому если x=b корень уравнения, то и x=-b — корень. Так как уравнение должно иметь 6 корней, то возможен только такой случай: уравнение имеет ровно 3 положительных корня. Таким образом, уравнение |x^2-8x+12|=a должно иметь ровно 3 положительных корня. Но это уравнение можно записать как совокупность двух уравнений: [ x^2-8x+(12-a)=0, x^2-8x+(12+a)=0 ]Заметим, что по теореме Виета если второе уравнение имеет корни, то все они положительны (т.к. сумма корней 8, а произведение положительно и равно 12+a). 1 случай. Второе уравнение имеет 1 корень, а первое уравнение — 2 положительных корня. Несложно убедиться, что первое условие выполняется только при a=4. Подставим в первое уравнение а=4: x^2-8x+8=0D/4=16-8=8>0 уравнение имеет 2 корня, а из теоремы Виета следует, что эти корни положительны. Итак, при a=4 уравнение имеет нужное число корней. 2 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое имеет корни разных знаков. Для того, чтобы узнать, когда выполняется первое условие, вычислим дискриминант: D/4=16-12-a=4-a>0, откуда a<4. Для того, чтобы выполнялось второе условие, нужно чтобы 1) корни были и 2) ихз произведение было отрицательно.D/4=16-12+a=4+a>0 — верно для всех а>012-a<0, откуда a>12. Очевидно, такой случай невозможен. 3 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое — один корень, который положителен. Понятно, что у первого уравнения 1 корень будет только при a=-4, но a>0. Противоречие. Итак, уравнение имеет 6 корней только при a=4, это число и идет в ответ. P.S. Традиционный способ решения таких задач — графический. Для того, чтобы понять, сколько корней имеет уравнение f (x)=a, нужно всего лишь построить график y=f (x), а затем смотреть, при каких a прмая y=a пересекает график в нужном количестве точек. График |x^2-8|x|+12|=y см. Во вложении. Как правило, такой способ приводит к ответу быстрее, чем аналитическое решение.
