1. Через сторону AC треугольника ABC проведена плоскость α. B Є α. Докажите, что…

Возможно, в условии ошибка. Если через сторону АС проведена плоскость и В принадлежит этой плоскасти, то и весь треугольник принадлежит этой плоскости, тогда прямые, соединяющие середины сторон также принадлежат данной плоскости. Смысл? Значит В не принадлежит плоскости (так должно быть в условии), тогда данная прямая является средней линией треугольника АВС, а она (по свойству средней линии) параллельна АС. По теореме о паралельности прямой и плоскости, прямая паралельна плоскости, если она паралельна хотя бы одной прямой из этой плоскости. Так как АС принадлежит нашей плоскости, то прямая, соединяющая середины указанных сторон, паралельна этой плоскости.