Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая,…

Без теоремы Чевы и следствий. Кому надо с ней — сами и делайте Пусть N лежит на АР так, что MN II BC. Тогда треугольники ВКР и MNK равны, поскольку у них равны все углы и ВК=КМ. Поэтому NK=KP, а поскольку NP=AP/2, то КР=АР/4; Далее, MN=PC/2; но ВР=MN; поэтому ВР=РС/2=ВС/3; Теперь применяется (в массовом порядке известное свойство — если у треугольников высоты к каким-то сторонам равны, то площади относятся, как длины этих сторон. Если обозначить S площадь АВС, то площадь АРС равна S*2/3; Площадь АВМ равна S/2; а площадь АКМ (и — между прочим — площадь АВК) равна половине площади АВМ, то есть S/4; Окончательно, площадь KPCM равна S*2/3 — S/4=S*5/12; а искомое отношение равно (S/4) / (S*5/12)=3/5;