Решение: Центр О описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника. Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника).Cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Поэтому AC=2*MN=2*корень (15). Пусть ВК – медиана, проведенная к основанию АС, тогдаАК=СК=1\2*АС=1\2*2*корень (15)=корень (15).1 случай) Если центр О описанной окружности лежит внутри треугольника АВС, тогда: По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2OK^2=8^2- (корень (15) ^2=49ОК=7ВК=ОВ + ОК=8+7=15. По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.ML=NL=1\2*MN=1\2*корень (15). По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KLBL=KL=1\2*BK=1\2*15=7,5LO=OB-BLLO=8-7,5=0,5MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO. По теореме Пифагора: OM^2=LO^2+ML^2OM^2=0,5^2+(1\2*корень (15) ^2=4OM=22 случай) Если центр О описанной окружности лежит вне треугольника АВС, тогда: По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2OK^2=8^2- (корень (15) ^2=49ОК=7ВК=ОВ-ОК=8-7=1. По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.ML=NL=1\2*MN=1\2*корень (15). По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KLBL=KL=1\2*BK=1\2*1=0,5LO=OB-BLLO=8-0,5=7,5MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO. По теореме Пифагора: OM^2=LO^2+ML^2OM^2=7,5^2+(1\2*корень (15) ^2=60OM=корень (60)=2*корень (15) з.і. Вроде так*
