Я про такой треугольник много уже написал тут. Ну, можно еще. Но сначала решение «для учителя» . Центр окружности лежит на стороне 15 и равноудален от других сторон, то есть он совпадает с концом биссектрисы угла напротив стороны 15. Поэтому он делит сторону 15 в отношении 13/14. Длины этих отрезков 15*13/ (13+14)=65/9 и 15*14/ (13+14)=70/9; Площади треугольников, на которые делит треугольник биссектриса, равны 13*R/2 и 14*R/2, поскольку радиус окружности R играет в каждом из них роль высоты к известной стороне. Сумма их равна S=27*R/2; Площадь треугольника S считается по формуле Герона. Полупериметр p=(13+14+15) /2=21; p — 13=8; p — 14=7; p — 15=6; S^2=21*8*7*6=(7*3*4) ^2; S=7*3*4=84; Получилось 27*R/2=84; R=56/9; Теперь вот что. Часто можно найти площадь треугольника, если заметить, что его длины сторон выражены целыми числами, присутствующими в Пифагоровых тройках. Или — что несколько сложнее — пропорциональны им. В данном случае присутствие чисел 13 (из тройки 5,12,13) и 15 (из «египетской» тройки 9, 12, 15, кратной 3,4,5) наводит на мысль, что треугольник составлен из двух Пифагоровых. Это действительно так — достаточно приставить друг к другу такие треугольники одинаковыми катетами 12, так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовали бы сторону 14. Это означает, что в треугольнике со сторонами 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12, и она делит сторону 14 на отрезки 5 и 9. (Стоит ли упоминать, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам, ДРУГИХ таких треугольников не бывает Это простое наблюдение не требует сложных вычислений (записать это намного труднее, чем сообразить). В результате площадь треугольника считается устно, и равнаS=12*14/2=84; В данном случае площадь легко считается и по формуле Герона, но это не всегда так, и — кроме того — применение сложных формул увеличивает вероятность ошибки. А метод «Пифагоровых троек» позволяет сосчитать площадь моментально, устно и безошибочно. Стоит только помнить, что после получения ответа таким способом надо еще уметь получить его «стандартными» методами. Если поискать среди моих задач — там есть более подробное изложение различных способов, которые надо прменять в таких случаях. Формула Герона вообще должна применяться только тогда, когда нет другого выхода.
