Доказательство теоремы о параллельных прямых

Признак параллельности прямыхТеорема. Признак параллельности прямых Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы. Признак параллельности прямых Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке С. Отложим от секущей AB треугольник ABC1, равный треугольнику ABC, так, что вершина С1 лежит в другой полуплоскости, чем вершина С. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых a, b и секущей AB равны. Из равенства треугольников следует, что ∠ CAB=∠ C1BA и ∠ CBA=∠ C1AB и они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, a прямая BC1 совпадает c прямой b. Отсюда следует, что через две различные точки С и С1 проходят две различны прямые a и b. Это противоречит аксиоме о том, что «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Значит, прямые параллельны. Из теоремы следует: Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. На основании теоремы доказывается: Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.