Докажите что сумма расстояния от любой точки взятой внутри или на любой стороне…

Возьмем равносторонний треугольник ∆АВС и точку внутри этого треугольника О. Соединим эту точку с вершинами треугольника. Таким образом мы разделили данный нам ∆ АВС на 3 треугольника: ∆АОВ, ∆АОС и ∆ВОС. То есть площадь данного нам ∆АВС равна сумме площадей ∆АОВ, ∆АОС и ∆ВОС. Но Sавс=1/2АС*Н (где Н — высота нашго треугольника) Sаов=1/2АВ*h1 (где h1 — высота ∆АОВ или ничто иное как расстояние от точки О внутри нашего треугольника до стороны АВ) Sаос=1/2АС*h2 (где h2 — это расстояние от О до прямой АС) Sвос=1/2 ВС*h3 (где h3 — это расстояние от О до прямой ВС) Но АВ=ВС=АС по определению. Тогда сумма площадей трех треугольников равна 1/2АВ*h1+1/2АС*h2+1/2 ВС*h3 или 1/2АС*h1+1/2АС*h2+1/2АС*h3=1/2АС*(h1+h2+h3) и эта сумма равна площади нашего треугольника АВС Sавс=1/2АС*H. Значит Н=h1+h2+h3 что и требовалось доказать. Если точка лежит на любой из сторон — это частный случай, когда соединив эту точку с вершинами данного нам треугольника получим два треугольника, а не три. Остальные рассуждения те же.