Две окружности касаются друг друга в точке К. Продолжение хорды АВ первой…

Как всегда в таких случаях, все решает подобие, которое вылезает в самом неожиданном месте. СМ ЧЕРТЕЖ. Прямая КN перпендикулярна отрезку, соединяющему центры. Само собой, это общая касательная в точке К. В данном случае подобны треугольники KBN и AKN — у них есть общий угол KNA, а углы KAB и BKN измеряются половиной дуги КВ, то есть тоже равны. АК/KB=KN/NB=AN/KN; Кроме того, KN=NM по свойству касательной. Вобщем то уже все решено, осталось вычислить. Обозначим для краткости записи АК=а; KN=MN=x; BN=y; Учтем, что КВ=12; MB=x+y=18; AN=24 — 18+y=6+y; Получаемa/12=x/y=(6+y) /x; x+y=18; подставляем y=18 — x во второе равенство, получаем уравнение для х, решив, подставляем в первое, находим а x/ (18 — x)=(24 — x) /x; это даже не квадратное уравнение, получаем 24*18=(24+18)*x; x=72/7; a/12=(24 — x) /x=(24/x — 1)=7/3 — 1=4/3; a=16;