Из точки A проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках B и C.…

Пусть О — центр окружности. Тогда треугольник BCO равнобедренный с углами 30, 30, 120 (AB перпендикулярно BO, а угол ABC равен 60, тогда угол CBO равен 30). BO=CO=R. Проведем высоту OH, в результате чего треугольник распадается на 2 прямоугольных треугольника с углами 30, 60, 90, и гипотенузой R. Тогда BH=Rsqrt (3) /2, а BC=Rsqrt (3). Таким образом, сторона правильного треугольника равна Rsqrt (3). Площадь можно найти по формуле S=sqrt (3)*a^2/4=3sqrt (3) R^2/4.