К окружности проведена касательная. Докажите, что сумма расстояний от концов…

Пусть Центр окружности О, диаметр АВ, С — точка касания прямой А1В1, ВВ1 перпендикулярно А1В1, АА1 II BB1 (само собой, и СО II BB1). Строим СЕ перпендикулярно АВ и продливаем до пересечения с окружностью в точке К. Ясно, что дуга СВ равна дуге ВК, поэтому углы ВСЕ и В1СВ равны — они измеряются половиной равных дуг. Поэтому прямоугольные треугольники СВ1В и СЕВ равны, и В1В=ЕВ. Далее, отсюда же следует, что СВ1=СЕ, но СВ1=СА1 (не зря я про параллельность СО, АА1 и ВВ1 упоминал поэтому ТОЧКА А РАВНОУДАЛЕНА ОТ СЕ и СА1. То есть она лежит на биссектрисе угла А1СЕ, и СЕ=А1С (элегантно я доказал равенство углов А1СА и АСЕ, не рассматривая какие-то дуги, а просто воспользовался определением биссектрисы… хотя, конечно, дуги АС и АК равны). Итак, АА1=АЕ, ВЕ=ВВ1. Ну, если это сложить, получится то, что требуется в задаче. Если отобразить А1В1ВА симметрично относительно А1В1, то получится равнобедренная трапеция, у которой ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ лежит в точке С.