Найти угол треугольника, если расстояние от вершины этого угла до ортоцентра…

Надо же, я с трудом решил побольше бы таких задач Вот удивительно, сам по себе ортоцентр не играет никакой роли в решении. Для начала обратим внимание, что треугольник КРМ (К, Р и М — середины сторон треугольника АВС) подобен треугольнику АВС. Центр О описанной вокруг АВС окружности лежит на пересечении медиатрис (перпендикуляров к сторонам в их серединах). Это означает, что О — точка пересечения высот треугольника КМР (каждая медиатриса АВС является высотой КМР). Таким образом, ОМ — расстояние от вершины до ортоцентра в треугольнике, у которого все размеры в два раза меньше, чем в АВС (конечно, и угол тот, который надо — угол КМР=угол ВАС). Таким образом, (фактически по условию, вот оно — решение ОМ=ОС/2. Но это сразу означает, что угол МОС=60 градусов. Поскольку ОВ симметрично ОС относительно ОМ (ну, М — середина ВС, ОМ перпендикулярно ВС), угол ВОМ тоже равен 60 градусов. Итак, угол ВОС=120 градусов. Это центральный угол дуги ВС, на которую опирается искомый вписанный угол ВАС. Ответ: угол ВАС=60 градусов.