Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого…

ПустьK, L, M иN середины сторон соответственноAB, BC, CD иAD выпуклого четырехугольникаABCD, LN=2, KM=7. ОтрезкиKL иMN — средние линии треугольниковABC иADC, поэтомуKL ‖ AC, KL=1 2 AC, MN ‖ AC, MN=1 2 AC, значит, четырехугольникKLMN — параллелограмм, а так как его диагоналиKM иLN перпендикулярны, то это — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т.е.S KLMN=1 2 · 2 · 7=7. ПосколькуKL — средняя линия треугольникаABC, площадь треугольникаKBL равна четверти площади треугольникаABC. Аналогично, площадь треугольникаMDN равна четверти площади треугольникаADC, поэтомуS △KBL+S △MDN=1 4 S △ABC+1 4 S △ADC=1 4 (S △ABC+S △ADC)=1 4 S ABCD. Аналогично,S △KAN+S △MCL=1 4 S ABCD. Следовательно,S KLMN=S ABCD − S △KBL − S △MDN − S △KAN − S △MCL=S ABCD − 1 4 S ABCD − 1 4 S ABCD=S ABCD − 1 2 S ABCD=1 2 S ABCD, S ABCD=2S KLMN=2 · 7=14.