Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны друг другу. Итак, АВСД — четырехугольник, в котором АВ=СД, а ВС=АД. Требуется доказать, что АВ параллельна СД и ВС параллельна АД. Проведем диагональ АС. Она разбила наш четырехугольник на два треугольника — АВС и АДС. Легко увидеть, что все три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого (АС — сторона общая, АВ=СД и ВС=АД по условию задачи). Таким образом, треугольник АВС равен треугольнику АДС по признаку равенства трех сторон. Из равенства треугольников следует равенство углов САД и ВСА. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и АД и секущей АС. Следовательно, прямые ВС и АД параллельны. Проведем теперь вторую диагональ в нашем четырехугольнике — ВД. Дальше все повторяется в точности: прямая дала нам два треугольника — АВД и СВД, эти треугольники так же равны между собой по признаку равенства трех сторон, следовательно, угол АВД равен углу СДВ. Эти углы так же являются внутренними накрест лежащими при прямых АВ и СД и секущей ВД. Значит, ВС параллельна АД. Итак, что имеем? ВС параллельна АД, АВ параллельна СД. Значит, наш четырехугольник есть ничто иное, как параллелограмм по своему определению.
