Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Площадь сечения равна 25√3. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения. Сделаем рисунок. Так как сечение АВС ограниченго двумя образующими, оно является равнобедренным треугольником с высотой и медианой ВМ. АВ=10, это и без вычисления можно сказать — треугольник «египетский» с отношением сторон 3:4:5Катеты 6 и 8, отсюда гипотенуза АВ=10Можно сторону АВ найти по т. Пифагора, результат будет тем же. Рассмотрим треугольник АВМ. Он прямоугольный с прямым углом ВМА, и его площадь равна половине площади сечения АВС.S АВМ=(25√3): 2Из М проведем к образующей ВА высоту МК. МК=2·S Δ АВМ: АВМК=(25√3): 10=2,5√3 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. МК²=ВК·АКПусть ВК=х, тогда АК=10-хСоставим уравнение 2,5√3) ²=х· (10-х) 18,75=10 х-х²х²-10 х +18,75=0Найдем корни этого уравненияD=b²-4ac=-10²-4·1·18,75=25Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня х₁=7,5 х₂=2,5 Так как ВК больший отрезок, его длина равна 7,5Длина второго отрезка не пригодится. (Можно с его помощбю найти АМ, затем НМ и косинус искомого угла, но вряд ли стоит, это дольше будет) ВМ — гипотенуза треугольника ВМН, угол ВМН которого нам нужно найти. ВМ²=МК²+ ВК²ВМ²=2,5√3²+7,5² ВМ²=18,75+56,25=75ВМ=5√3sin ∠ВМН=8:5√3sin ∠ВМН=0,9238По таблице определяем, что 67°< ∠ВМН <68°, т. Е приблизительно 67°29' (точнее можно найти в более подробных таблицах)
