1) Существует ли треугольник, две биссектриссы которого перпендикулярны? Почему? НЕТ, так как если две бисектриссы перпендикулярны, то угол между ними 90*, соответственно сумма двух углов треугольника, образованного стороной данного треугольника и биссектрисами равна 90*, значит сумма двух углов треугольника (из которых проведены биссектрисы) равна 180*, а значит это не треугольник, так как в треугольнике сумма трех углов равна 180*2) доказать, что биссектисса прямого угла треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла? Если треугольник прямоугольный и равнобедренный, то биссектриса прямого угла, медиана и высота совпадают, если прямоугольный треугольник не равнобедренный, то: угол А>45*, угол С<45*ВК-высота, следовательно угол АВК<45*ВЕ-биссектриса, следовательно угол АВЕ=45*ВО-медиана, следовательно угол АВО>45*(так как ВО=АО=СО, а угол А>45*) видно, что ВЕ лежит между ВК и ВО. Доказано.3) Доказать, что в прямоугольном треугольнике длины всех его сторон не могут быть нечетными числами? Так как в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то: если длины катетов отрицательные числа, то их квадраты тоже отрицательные, а сумма двух отрицат. Чисел — число положительное, следовательно длина третьей стороны будет число положительное 4) определить вид треугольника АВС, если а +h (a)=b+h (b) прямоугольный, так как (а, в) — катеты, h (a)=в, h (в)=а 5) медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Угол между АМ и высотой АН равен 40 градусов. Найти углы треугольника АВСтак как АМ-медиана и равна половине стороны ВС, то треугольник АВС-прямоугольный, угол А=90*угол АНМ=90*, так как АН-высота, угол АМН=180-90-40*=50*, треугольник АМВ-равнобедренный, угол ВАМ=АВМ=(180-50) /2=65*, угол С=180-90-65=25*Ответ: углы треугольника равны: А=90*, В=65*, С=25*6) Сумма катетов в прямоугольном треугольнике равна 8. Может ли его гпотенуза равняться 5? Х — один катет 8-х второй катетх»+(8-х) "=25 (теорема Пифагора) х"+64-16 х + х"-25=02 х"-16 х +39=0D=256-312 <0 решений нетОтвет: нет 7) В треугольнике АВС АС=3, ВС=4. Окружность с центром в точке А проходит через точку С и пересекает гипотенузу АВ в точке К найдите отношение длин отрезков АК и ВК? АВ=√ (АС"+ ВС")=√ (9+16)=5АС=АК=3ВК=5-3=2АК/ВК=3/28) В прямоугольном треугольнике медианы, проведенны к катетам, равны корень из 52 и корень из 73. Найдите гипотенузу? Х — катету — катетz — гипотенузах"+(у/2) "=52 у"+(х/2) "=734 х"+ у"=208 у"=208-4 х"208-4 х"+(х/2) "=7315 х"=540 х"=36 х=6 у=8z=√ (х"+ у")=√ (36+64)=10Ответ: 109) В прямоугольном треугольнике один из катетов больше медианы, проведенной из вершины прямого угла, на 0,5 . Найдите его площадь, если второй катет равен 4? Х — неизвестный катету — медиана, 2 у — гипотенузах=у +0,54 — второй катет 16+(у +0,5) "=(2 у) "16+ у"+ у +0,25=4 у"3 у"-у-16,25=0D=1+195=196 у=(1+14) /6=2,5 гипотенуза равна 2,5*2=5 х=3S=3*4/2=6Ответ: 610) В треугольнике АВС известны стороны АС=2, АВ=3, ВС=4. Пусть ВD- высота треугольника. (D на прямой АС) Найти длину отрезка АD& х — длина отрезка АД (2-х) длина СДВС"-СД»=АВ"-АД"16- (2+ х) "=9-х"16-4-4 х-х"-9+ х"=04 х=3 х=3/4Ответ: АД=3/4
