Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола поділяє гіпотенузу на…

Обозначим треугольник АВС (смотри рисунок). Проведем радиусы ОК=ОР=ОМ=R. ОМСК-квадрат. Тогда КС=МС=R. Пусть АР=m, ВР=n. Треугольники АОР и АОК подобны по катету и гипотенузе, отсюда АР=АК=m. Аналогично-для треугольников ОРВ и ОМВ. Тогда, обозначив соответствующие отрезки m,n ,R, по теореме Пифагора получим первое уравнение (1). По известной формуле выразим R через полупериметр и получим второе уравнение (2). Подставим первое во второе и получим ответ Sавс=m*n.