Неожиданно очень простая задача. Если на ВН, как на диаметре, построить окружность, то она пройдет через основания высот, опущенных из вершин А и С (на стороны ВС и АВ соответственно, пусть это АА1 и СС1, так вот, эта окружность проходит через А1 и С1). Связано это просто с тем, что треугольники ВНС1 и ВНА1 — прямоугольные. Эта окружность является описанной для треугольника А1ВС1, и ВН — ее диаметр. Далее, легко видеть, что ВА1=ВА*√3/2 и ВС1=ВС*√3/2, поскольку угол АВС=30 градусов. Поэтому угол АВС общий у треугольников АВС и А1ВС1, и стороны этого угла в треугольниках пропорциональны, то есть треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС (в частности, А1С1=АС*√3/2). Поскольку размеры треугольника АВС в 2/√3 раза больше размеров треугольника А1ВС1, во столько же раз больше и диаметр описанной окружности, то естьВН=4=(2*R)*√3/2=R*√3, R=4*√3/3 Я добавлю замечание, не большое такое. Треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС при любом угле АВС, а не только — когда он равен 30 градусам. Пусть угол АВС=Ф. В общем случае ВС1=ВС*cos (Ф); BA1=BA*cos (Ф), то есть угол АВС у треугольников общий, и стороны общего угла пропорциональны. Поэтому тр-ки АВС и А1ВС1 подобны, и коэффициент подобия равен cos (Ф). Такой же пропорцией должны быть связаны диаметры описанных окружностей 2*R и ВН. Получается соотношение, которое по форме почти точно воспроизводит теорему синусов, только с заменой синуса на косинус.BH=(2*R)*cos (Ф). В данном случае cos (Ф)=√3/2 и ВН=R*√3.
