Надо найти радиус шара, вписанного в пирамиду, ограниченную плоскостями, заданными следующими уравнениями в обычной ортогональной системе координат (x,y,z): Плоскости x=0, y=0, z=0 (это просто плоскости, построенные на координатных осях — плоскости XY, YZ, XZ) иплоскость 12*x+4*y — 3*z=12; Пояснения. Вершина А соответствует началу координат, точка B лежит на оси X и имеет координаты (1,0,0), точка С лежит на оси Y и имеет координаты (0,3,0), точка D лежит на оси Z и имеет координаты (0,0,4). Такая привязка пирамиды к ортогональной системе координат возможна потому, что треугольники CAD, BAD и ABC прямоугольные, это легко проверить по теореме Пифагора. Угол А — это «прямой трехгранный угол», то есть все три прямые АВ, АС и AD взаимно перпендикулярны. Плоскость 12*x+4*y+3*z=12 соответствует плоскости DBC и проходит через точки B (1,0,0) C (0,3,0) D (0,0,4), что легко проверить непосредственно (напомню, что три точки задают плоскость однозначно). Уравнение плоскости легко привести к векторному виду nr=12/13; где единичный вектор n=(12/13, 4/13, 3/13); InI=1; а вектор r — это радиус-вектор точки плоскости, то есть попросту вектор (x,y,z), где x,y,z — коодинаты любой точки плоскости. Вектор n — нормаль к плоскости, то есть он перпендикулярен плоскости. С другой стороны, центр шара, вписанный в эту пирамиду, должен быть равноудален от граней трехгранного угла, поэтому он лежит на прямой x=y=z; или, что то же самое, радиус-вектор центра R имеет координаты (a,a,a), где a — радиус вписанного шара (я использую букву а, чтобы не было путаницы, где что). При этом расстояние от центра до плоскости DBC тоже равно а. Из этого следует вот что — если провести перпендикуляр из центра на плоскость, и этот отрезок рассматривать, как вектор (с модулем а) с началом в центре и с концом на плоскости, то этот вектор можно записать в виде n*a, поскольку вектор n перпендикулярен плоскости DCB и по модулю равен 1. Конечная точка вектора принадлежит плоскости (это точка касания шара и плоскости DCB). Запишем это в векторном виде.R+n*a=r; где r — радиус-вектор точки касания. Я представил радиус-вектор точки касания в виде суммы двух векторов — радиус-вектора центра шара и вектора из центра шара в точку касания (все просто!). Поскольку точка касания лежит на плоскости, она подчинаяется уравнению плоскости. Чтобы этим воспользоваться, умножим скалярно обе стороны этого векторного равенства на n. ПолучимRn+a=nr=12/13.Rn=(12/13+4/13+3/13)*a=(19/13)*a; и получается элементарное соотношение 19*а +13*а=12; Радиус шара a=3/8. Есть и такой способ — я соединяю центр шара с вершинами и считаю объем пирамиды как сумму объемов получившихся четырех пирамид, в которых радиус шара является высотой. Я получаю простую формулу, аналогичную известной формуле площади треугольника. Пусть V — объем пирамиды, S — площадь всех поверхности, а — радиус шара. ТогдаV=S*a/3; Площади трех граней пирамиды легко считаютсяSabc=3*1/2=32; Sabd=4*1/2=2; Sacd=4*3/2=6; четвертая грань — это треугольник BCD со сторонами √17, √10 и 5; если есть большое желание, можно вычислить его площадь по Герону. Но есть более просто способ. Я провожу в этом треугольнике высоту из точки В к стороне CD=5 и получаю два прямоугольных треугольника. Если высота h, а сторона CD делится на отрезки x и 5 — x, тоx^2+h^2=175 — x) ^2+h^2=10; x=16/5; h=13/5; Sbcd=13/2; Окончательно получается V=1*3*4/6=2; S=13/2+2+6+3/2=16; a*16/3=2; a=3/8;
