Я не нашел «школьного» решения, но ужто, что нашел, приведу. Пустьначало координат расположено в середине АС, и ось Z проходит через точку S, аось Y — через точки С и А. Положение точки В составляет суть задачи. Яполагаю координаты точки С (0,-a, 0), где а — неизвестная величина (половинадлины стороны основания). Ясно, что sin (α/2)=a/b; где α –искомый угол ASC; то есть найдя а, найдется и α; Тогда координаты А (0, а,0) S (0,0,√ (b^2 — a^2) Дляначала надо составить уравнения сфер, на которых заведомо лежит точка В. Сфера, касающаяся плоскости SAC, то есть плоскости x=0; имеет радиус b/2; центр лежит на перпендикуляре из точки С к плоскости x=0; то естьна прямой II оси X. Уже можно записать формулу (x -b/2) ^2+(y+a) ^2+z^2=(b/2) ^2; Втораясфера, на которой заведомо лежит точка В — это сфера с центром в точке С ирадиусом в 2*а. На этой же сфере лежит точка А. Это утверждение означает всеголишь то, что расстояние от В до С равно 2*а, что совершенно очевидно, посколькув основании пирамиды правильный треугольник. x^2+(y+a) ^2+z^2=(2*a) ^2; Аналогичноеусловие можно было бы записать и для точки А, уравнение отличалось бы знаком вслагаемом с yy — a) вместо (y+a); Но есть очевидное условие, которое это делает ненужным. Но сначала — третья сфера, уравнение которойпросто означает, что расстояние от В до S равно b; x^2+y^2+(z — √ (b^2 — a^2) ^2=b^2; У насесть 3 уравнения, которые надо решать совместно. Первое, и самоесильное упрощение состоит в том, что заведомо y=0; Совершенно очевидно, чтоточка В должна лежать на плоскости XZ, поскольку она равноудалена от точек А иС. Поэтому уравнения упрощаются (x — b/2) ^2+a^2+z^2=(b/2) ^2; x^2+a^2+z^2=(2*a) ^2; x^2+(z — √ (b^2 -a^2) ^2=b^2; если немного преобразовать, получаетсяx^2 –b*x+(b/2) ^2+a^2+z^2=(b/2) ^2; или x^2+z^2=b*x – a^2; x^2+z^2=3*a^2; x^2+z^2 – 2*z*√ (b^2- a^2)+b^2 – a^2=b^2; или x^2+z^2=2*z*√ (b^2- a^2)+a^2И теперь уже совсем просто – сначала x и z легковыражаются через a; x=4*a^2/b; z=a^2/√ (b^2 — a^2) остается подставить это во второе соотношение x^2+z^2=3*a^24*a^2/b) ^2+a^4/ (b^2 –a^2)=3*a^2; или 16*(a/b) ^2+(a/b) ^2/ (1 – (a/b) ^2)=3; с учетом sin (α/2)=a/b; получается 16*(sin (α/2) ^2+(sin (α/2) ^2/ (cos (α/2) ^2=3; Осталось заметить, что квадраты синуса икосинуса половинных углов выражаются через косинус полного (sin (α/2) ^2=(1 – cos (α) /2cos (α/2) ^2=(1+cos (α) /2; Что приводит к окончательному уравнению 4*x^2+2*x – 3=0; гдеx=cos (α); x=(√13 –1) /4; Ответ α=arccos (√13 – 1) /4);
