В прямоугольнике ABCD известно, что AB=4, BC=9. Окружность касается сторон AD, CD и…

Тут конечно надо координатным методом. Если начало координат в точке D, оси X вдоль DA, Y вдоль DC, то уравнение окружности (x — r) ^2+(y — r) ^2=r^2; в переводе на обычный язык это означает, что центр окружности лежит на биссектрисе прямого угла ADC, а окружность касается сторон этого угла. Точка М (9/2, 4), то есть середина ВС, принадлежит этой окружности. Это сразу определяет радиус. (9/2 — r) ^2+(4 — r) ^2=r^2; r^2 — 17*r+145/4=0; есть два корня 29/2 и 5/2. Первый корень надо отбросить — он пересекает сторону ВС только в точке М (вторая точка пересечения лежит на продолжении ВС), остается один корень r=5/2; Если искомый отрезок обозначить u, то по свойству касательной и секущей из точки С (9/2)*(9/2 — u)=(4 — r) ^2; откуда u=4; то есть u=АВ; что наводит на мысль о решении обычными средствами. Ищите … .