В прямоугольном треугольнике АВС угол А=90 медиана АМ делит биссектрису СК в…

Обозначим О — точка пересечения биссектрисы и медианы. Пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, СО=q, обозначим так же за Ф половину угла С. В силу того, что треугольник прямоугольный, медиана АМ равна половине основания, и треугольник СМА равнобедренный. Угол МАС=2*Ф, поэтому угол МОС=3*Ф, угол АМВ=4*Ф. Применим теорему синусов к треугольнику МОС (a/2) /sin (3*Ф)=q/sin (pi — 4*Ф); кроме того, а*cos (2*Ф)=p*cos (Ф) равно катету, который сторона угла ВАС) Отсюда (просто делим одно на другое) 2*cos (2*Ф)*sin (3*Ф)=(p/q)*cos (Ф)*sin (4*Ф); поупрощаем немногоsin (3*Ф)=(p/q)*cos (Ф)*sin (2*Ф); sin (Ф)*(3 — 4*(sin (Ф) ^2)=(p/q)*2*(cos (Ф) ^2*sin (Ф); 3 — 2*(1-cos (2*Ф)=(p/q)*(1+cos (2*Ф); cos (2*Ф)=(p/q — 1) / (2 — p/q); покольку угол ВСА и есть 2*Ф, то это ответ. В случае, если p/q=13/9 (так задано в условии) ,cos (2*Ф)=4/5; а, ну да, надо тангенс… 3/4 будет тангенс… треугольник подобен простейшему пифагоровому (со сторонами 3,4,5) Если обозначить за d=q/ (p — q) то есть то самое отношение, которое по условию равно 9/4), то выражение для cos (2*Ф) можно привести к видуcos (2*Ф)=1/ (d — 1); что выглядит еще симпатичнее.