В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания вписанной…

Ясно, что один из отрезков — тот, который имеет своим концом вершину прямого угла — равен радиусу вписанной окружности. Это сразу понятно, если провести радиусы в точки касания — у вершины прямого угла получится квадрат, образованный двумя радиусами и двумя отрезками катетов. Поскольку два угла прямоугольнного треугольника ОСТРЫЕ, то есть из половинки меньше 45 градусов, то отношение радиуса вписанной окружности к отрезку стороны от вершины острого угла до точки касания МЕНЬШЕ, чем 1. Поэтому радиус вписанной окружности равен 7, а один из катетов равен 15. Точки касания делят гипотенузу на отрезки 8 и x, а второй катет — на отрезки 7 и х. (8+x) ^2=(7+x) ^2+15^2; x=(15^2+7^2 — 8^2) /2=105; поэтому стороны треугольника равны 15, 112, 113. Само собой, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы 113/2. (интересная Пифагорова тройка 15, 112, 113, — она получается, если взять Пифагорову тройку 5,12,13, и приписать 1 слева забавно было бы найти все такие тройки, у которых можно отбросить — или, наоборот, приписать — сколько-то знаков слева, и получится новая тройка. Но эту задачку вряд ли решит школьник, даже если сдаст десять тысяч ЕГЭ. Ее и профессор не всякий решит…)