Пусть точки М и N — основания высот, проведенных к сторонам АС и АВ соответственно. Тогда окружность пройдет через эти точки.т.к. она касается стороны АВ в точке N, то диаметр окружности принадлежит высоте СN, т.к. `CN_|_AB` (как-то плохо доказано, как правильно?). Пусть окружность пересекает CN в точке D, тогда ND — диаметр; угол DMN — прямой, т.к. опирается на диаметр; треугольник DMN — прямоугольный. Треугольники AMN и ABC подобны (Так и не понял почему. Где-то читал, что они должны быть подобны, а вот по какому признаку?. Мне кажется, что тут дело в равенстве углов, но как доказать? Один угол общий BAC=MAN, а вот другой?). Т. К. Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС, то высота ВМ — медиана, т. М — середина АС, АМ=12/2=6. Из подобия следует, что ` (MN) / (BC)=(AM) / (AB) => MN=(BC*AM) / (AB)=(10*6) /10=6`. Треугольник MND — прямоугольный. А вот теперь идет утверждение, которое я никак не могу доказать, но которое показалось мне верным и привело меня к верному ответу. Утверждение следующее: Треугольники NMD и BMC подобны (опять мне кажется, что дело в подобиях по двум углам, и у того, и у другого есть прямой угол, т.е. углы NMD и BMC равны, но вот как доказать равенство других углов?). Из подобия следует: ` (BM) / (NM)=(BC) / (NC) => NC=(BC*NM) / (BM)=(10*6) /8=15/2` — это мы нашли диаметр. Радиус тогда равен `R=(NC) /2=15/4` — верный ответ.
