Обозначения AC=b; AB=c; BC=a; BB1=z; BC1=x; BA1=y; A1C1=p; A1B1=n; B1C1=m; Угол ABB1=угол B1BC=B/2=60°; поэтому косинусы этих углов равны 1/2; угол ABC=B=120°, его косинус равен -1/2. (Немного теории — на всякий случай) Площадь треугольника ABB1 равна z*c*sin (B/2) /2; площадь треугольника ВВ1С равна z*a*sin (B/2) /2; поэтомуc*a*sin (B) /2=z*c*sin (B/2) /2+z*a*sin (B/2) /2; откуда z=2*a*c*cos (B/2) / (a+c) (это — известная формула для длины биссектрисы). При В=120°; z=a*c/ (a+c); Из известного свойства биссектрисы внутреннего угла x=c*a/ (b+a); y=a*c/ (b+c); Далее, из теоремы косинусов для треугольников BC1B1, BB1A1 и BC1A1m^2=x^2+z^2 — x*z; n^2=y^2+z^2 — y*z; p^2=x^2+y^2+x*y; Поэтому m^2+n^2 — p^2=2*z^2 — x*y — x*z — y*z; Это равно 2*(a*c/ (a+b) ^2 — (a*c) ^2/ (b+c)*(b+a) — (a*c) ^2/ (a+c)*(b+a) — (a*c) ^2/ (a+c)*(b+c); Если вынести множитель (a*c) ^2/ (a+c) ^2*(b+c)*(b+a) «за скобки», то В СКОБКАХ останется 2*(b+c)*(b+a) — (a+c) ^2 — (a+c)*(b+c) — (a+c)*(a+b)=(половина первого слагаемого комбинируется с третьим, другая половина — с четвертым слагаемым)=(b+c)*(b+a — c — a)+(b+a)*(b+c — c — a) — (a+c) ^2=b^2 — c^2+b^2 — a^2 — a^2 — c^2 — 2*a*c=2*(b^2 — (a^2+c^2+a*с)=0; по теореме косинусов для треугольника АВС. Поэтому m^2+n^2=p^2, то есть А1В1С1 — прямоугольный треугольник, угол А1В1С1=90°, ч.т. д
