В треугольнике ABC AB=BC, AK и CM — высоты. Докажите, что отрезок KM параллелен AC.

Рассмотрим треугольники АКС и СМАОба они — прямоугольные, имеют общую гипотенузу АС и равные острые углы: ∠А=∠С, т.к. треугольник АВС — равнобедренный и углы при основании АС равны. Прямоугольные треугольники. В которых равны гипотенуза и острый угол — равны. Из равенства этих треугольников следует, чторавны и треугольники АКМ и СКМ. В этих треугольниках равны три стороны. АМ=КС, АК=СМ, а КМ — общая. Следовательно, углы КСМ=МАКНо так как ∠А=∠С, то ∠ А — ∠МАК=∠С- ∠КСМ. Мы доказали равенсто углов КСА=МАСТреугольники АОС и КОМ равнобедренные и подобны, так как имеют равные стороны КО=ОМ, ОС=ОА, ∠ КОМ=∠АОС как вертикальные, и отсюда углы при основаниях этих треугольников равны (180 — ∠АОС): 2. Из подобия равнобедренных треугольников следует, что углы МКС=КСА и КМА=МАС. Но эти углы — накрестлежащие при КМ и АС и секущих КС и МА. Следовательно, КМ||АС, что и требовалось доказать.