Конечно, высота пирамиды легко вычисляется «стандартным» способом. Проекцией ребра на основание служит половина диагонали квадрата в основании, которая равна, очевидно, корень (2)*корень (2) /2=1. Вместе с высотой пирамиды эта проекция образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого служит боковое ребро, откуда высота тоже равна 1. Откуда получается ответ — объем равен (корень (2) ^2*1/3=2/3. Но… Поскольку это половина окртаэдра, эту задачу можно решить вот как (не надо пугаться, что это какой-то координатный метод, просто так наглядно — расположим эту пирамиду в трехмерной системе координат следуюшим образом — пусть ее вершины лежат в точках (1,0,0) (0,1,0) (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,1). Не трудно убедится, что у такой пирамиды все ребра равны корень (2), поскольку именно такое расстояние между любой из этих точек и ближайшей к ней (ну, например, точка (1,0,0) на оси X и точка (0,1,0) на оси Y — обе на расстоянии 1 от начала координат, а ребро пирамиды их соединяет, и также — все остальные). Вот теперь сразу же очевидно, что высота пирамиды равна 1, и объем равен 2/3 (площадь основания очевидно равна 2). На самом деле, есть очень интересная трехмерная фигура, которая получается, если выбрать в обычном кубе вершину и провести сечение через три вершины, соседние к ней. В сечении получится равносторонний треугольник (со строной корень (2), если ребро куба 1). Объем такой пирамидки равен (1*1/2)*1/3=1/6 объема куба. А заданная в задаче пирамида составлена из 4 таких фигур. А октаэдр — из 8 .
