Кульминацией в теории групп и колец Галуа является понятиеконечного поля. Поле, конечное поле обозначает одну и ту же структуру. Однако не стоит забывать о существовании и бесконечных полей, но такие в криптографии не рассматриваются. Поле F называют конечным, если F — множество его элементов — конечно. Обозначение означает F — множество элементов, для которых справедливы операции +(аддитивная операциия) и*(мультипликативная операция), а также существует адитивныйединичный элемент по сложению (аддитивный нуль) — 0 иединичный элемент по умножению (мультипликативная единица) — 1. Обозначается конечное поле Fq, где q — количество элементов поля. Если р — простое число и q=р, то Z/ (q) — кольцо классов вычетов по модулю р, т.е. конечное поле из р элементов: 0 (mod p) , 1 (mod p) , 2 (mod p) , … , p-1 (mod p) , Если a=b (modp), то a b (modp) Пример 1. Пусть р=5. Тогда полем является множество {0, 1, 2, 3, 4}. Тогда аддитивная операция представлена следующим образом: +01234001234112340223401334012440123 мультипликативная операция представлена следующим образом: *123411234224233314244321Пример 2. Решить в поле F (11) уравнения: 1) 5+7 2) 3*4 3) 4*41) 5+7 (mod 11) 1 (mod 11); 2) 3*4 (mod 11) 1 (mod 11); 3) 4*4 (mod 11) 5 (mod 11). Характеристика поляЕсли для любого натурального m в поле F (q) m*1=0, то наименьшее m — есть характеристика поля F (q). Иначе поле считается нулевой характеристики. Любое числовое поле — поле нулевой характеристики. Кольцо классов вычетов по модулю простого числа является полем характеристики р. ТЕОРЕМА. Если F — подполе поля H, то характеристика полей F и H равны. Пример 3. Поле из примера 2 — поле F (11) является полем характеристики 11. Пример 4. Поле F (11^3) является также полем характеристики 11, т.к. поле F (11) является подполем поля F (11^3). Поле F (11^3) является уже примером расширенного поля Галуа (см. Расширения конечных полей Галуа).
