1Прямоугольные четырехугольники (прямоугольник, квадрат) диагональ делит на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых она будет гипотенузой. Следовательно, для ее вычисления возможно применение теоремы Пифагора. a²=b²+c², где a — гипотенуза, b и с — катеты. Пример 1: найдите диагональ AC, если известно, что длина BC=3 см, AB=5 см. Решение: вычислите гипотенузу AC в прямоугольном треугольнике ABC. AC²=AB²+BC²; AC²=5²+3²=34; из полученного значения извлеките квадратный корень: AC=√34=5,8 см. Ответ: диагональ прямоугольника равна 5,8 см.2Если перед вами квадрат, то вычислить диагональ можно, зная одну из его сторон или площадь.т. к. Все стороны квадрата равны, то теорема Пифагора для него будет иметь вид: a²=b²+b², a²=2b². Площадь — произведение двух сторон (S=b²). Значит, квадрат гипотенузы (в фигуре квадрат) равенего удвоенной площади (a²=2S). Пример 2: площадь квадрата 16 см². Найдите длину диагонали. Решение: вычислите длину диагонали а через площадь. a²=2S, a²=2*16 см²=32; извлеките корень квадратный: a=√32≈5,7 см. Ответ: длина диагонали квадрата – 5,7 см.3В некоторых случаях для вычисления диагонали необходимо делать дополнительные построения. Пример 3: равносторонний многоугольник со стороной, равной 6 см, угол BCD прямой. Найдите длину диагонали AB. Решение: соедините точки B и D. Получился прямоугольный треугольник BCD, в котором сторона BD является гипотенузой. Вычислите гипотенузу BD: BD²=BC+CD²; BD²=6²+6²=72; Гипотенуза BD из треугольника BCD является катетом в треугольнике ABD. А диагональ AB — гипотенуза в нем. Вычислите диагональ AB: AB²=BD²+AD²=72+36=108; AB=√108=10,4 см. Ответ: длина диагонали AB=10,4 см.4Диагональ куба можно найти через диагональ одной из его граней. Пример 4: куб со стороной 5 см. Найдите диагональ куба. Решение: достройте и вычислите диагональ грани куба. AC²=5²+5²=50. Диагональ AC перпендикулярна ребру CB, следовательно, угол ACB – прямой. Диагональ куба AB – гипотенуза в треугольнике ACB. Найдите длину диагонали куба: AB²=AC²+CB²=50+25=75; извлеките квадратный корень. AB=√75=8,7 см. Ответ: длина диагонали куба – 8,7 см.5Для вычисления диагоналей параллелограмма используют теорему косинусов: c²=a²+b²-2ab*cosγ. Пример 5: a=2 см, b=3 см, γ=120°. Найдите диагональ с. Решение: подставьте значения в формулу. c²=2²+3²-2*2*3*cos120°; cos120° найдите по таблице косинусов (-0,5). С²=4+9-12*(-0,5)=13- (-6)=19. Из этого значения извлеките корень: с=√19=4,35 см. Ответ: длина диагонали с=4,35 см.
