Построим произвольный треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC. Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R. Пусть это будет 2R=a / sin α, то есть если взять по чертежу 2R=BC / sin A. Проведем диаметр BD для описанной окружности. Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность). Поскольку, углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то угол CDB либо равен углу CAB (если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC), либо равен π — CAB (в противном случае). Обратимся к свойствам тригонометрических функций. Поскольку sin (π − α)=sin α, то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату. Вычислим значение 2R=a / sin α, по чертежу 2R=BC / sin A. Для этого заменим sin A на соотношение соответствующих сторон прямоугольного треугольника. 2R=BC / sin A 2R=BC / (BC / DB) 2R=DB А, поскольку, DB строился как диаметр окружности, то равенство выполняется. Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем: Теорема синусов доказана.
