Если представить расположения колец погремушки битовыми последовательностями (0 — для синего кольца, 1 — для красного), то сдвиги колец и перевороты погремушки соответствуют циклическуму сдвигам последовательности вправо и ее зеркальным отображениям (или, что то же самое, чтению справа налево). Все последовательности, полученные из данной таким образом, будут эквивалентными. Признаком (уникальным) последовательности и инвариантом этих преобразований может служить, например, такая «сигнатура» — количество нулей между единицами. Попробуем проще: Представим окружность, поделенную на 3 равных сектора в 120 градусов. В секторы проставим числа, чтобы их сумма составляла 4. При такой интерпретации наши 3 сектора соответствуют 3-м красным шарикам в погремушке, а число в секторе — числу синих шариков между двумя соответствующими красными. Эквивалентными последовательностями чисел будут те, которые получаются из исходной поворотами на 120 и 240 градусов, а также зеркальным отображением (поднесите рисунок к зеркалу и прочтите последовательность). Комбинация таких преобразований новых последовательностей нам не даст. Уникальные последовательности чисел в этом случае — это (0,0,4) , (0,1,3) , (0,2,2) , (1,0,3) и (1,1,2) (надеюсь, я ничего не пропустил?). Таких последовательностей всего 5. Значит, и различных видов погремушек может быть тоже 5. А с баллами Вы действительно поскромничали. Мне кажется, что сама задача (да и решение) заслуживают большего
