Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7… выделить арифметическую прогрессиюа) длиной 4; б) длиной 5; в) длиной n, где n — любое натуральное число? Возьмем парочку произвольных членов последовательности и посчитаем их разность. Теперь продолжим начатую арифметическую прогрессию с найденной разностью: Если первые два числа привести к тому же знаменателю m (m+k), то получим: Чтобы прогрессия состояла из трех членов данной последовательности, третья дробьдолжна сократиться, и при этом в числителе должна оказаться единица, т.е. знаменатель m (m+k) должен поделиться на числитель (m — k). Это произойдет, например, при m=2k. Получим прогрессию: Подставляя различные натуральные k, будем получать разные примеры прогрессий. Чтобы в четвертом члене прогрессии при сокращении оказалась единица, знаменатель m (m+k) должен поделиться на числитель (m — 2k). Это произойдет, например, при m=3k: Потребуем теперь, чтобы сократилась пятая дробь. Возьмем m=4k. Наша прогрессия: Чтобы во всех числителях оказалась единица (третья дробь подводит), возьмем k=3: Присмотримся внимательно к прогрессии, найденной в самом начале решения: Числители образуют арифметическую прогрессию, знаменатели равны. Возьмем в качестве знаменателя n!, а в качестве числителей 1, 2, 3,… .
