Найти площадь фигуры y'=1+y²

Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Требуется найти его общее решение, называемое квадратурой. Будем решать уравнение методом разделения переменных: dy/dx=1+y², разделяя переменные получим dy/ (1+y²)=dx, проинтегрируем последнее уравнение ∫ (1/ (1+y²) dy=∫dx+C — (1) где C — постоянная интегрирования Неопределенный интеграл, стоящий в левой части (1) является табличным: ∫ (1/ (1+y²) dy=arctg (y) — (2) Неопределенный стоящий в правой части можно найти с помощью табличной интеграла от степенной функции, полагая, x⁰≡1, поэтому ∫dx=∫x⁰dx=x⁰⁺¹/ (0+1)=x¹=x- (3) Тогда (1) с учетом (2) и (3) примет вид: arctg (y)=x+C, отсюда получим общее решение y=tg (x+C)