Решение многих задач математики, физики сводится к решениюалгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравненийявляется одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделатьуравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа. Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чиселнедостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль. На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравненияпервой степени, т.е. уравнения вида A (X+B=0 (A[pic]0). Однакоалгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональныхкорней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимостьрешения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональныхчисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множестводействительных чисел. Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любоеалгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительнымикоэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительныхкорней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширятьмножество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новыечисла вместе с действительными числами образуют множество, которое называютмножеством комплексных чисел. Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2+1=0 имееткорень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексноечисло, такое, что i 2=–1. Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения иумножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были быкомплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чиселA и B выражение A+B (i можно считать записью комплексного числа в общемвиде. Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по видувыражения A+B (i. Комплексными числами называют выражения вида A+B (i, где A и B–действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2=–1, иобозначают буквой Z. Число A называется действительной частью комплексного числа A+B (i, а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей. Например, действительная часть комплексного числа 2+3 (i равна 2, амнимая равна 3. Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чиселпонятие равенства. Два комплексных числа A+B (i и C+D (i называются равными тогда и толькотогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.
