Обозначим n ~ m, если последние цифры чисел n и m совпадают, т.е. числа n и m эквивалентны по модулю 10. N=12^2003+26^2003+38^2003 ~ 2^2003+6^2003+8^2003=2^2003+(2^2003) (3^2003)+(2^2003) (2^2003) (2^2003)=2^2003 (1+3^2003+(2^2003) (2^2003) Составим таблицу 2^n: n Значение Последняя цифра=0 2^0=1 11 2^1=2 22 2^2=4 43 2^3=8 84 2^4=16 65 2^5=32 26 2^6=64 47 2^7=128 88 2^8=256 6… Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная со 2-й строки. Период равен 4. Последняя цифра числа 2^n равна: 1: n=04: n=4k+2, где k=0,1,2,3,… 8: n=4k+3, где k=0,1,2,3,… 6: n=4k, где k=1,2,3,… Отсюда находим, что 2^2003=(2^2000)*(2^3)=(2^ (500*4)*(2^3) ~ 6*8=48 ~ 8 Составим таблицу 3^n: n Значение Последняя цифра=0 3^0=1 11 3^1=3 32 3^2=9 93 3^3=27 74 3^4=81 15 3^5=243 36 3^6=729 97 3^7=2187 78 3^8=6561 1… Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная с 1-й строки. Период равен 4. Последняя цифра числа 3^n равна: 1: n=4k, где k=0,1,2,3,… 3: n=4k+1, где k=0,1,2,3,… 9: n=4k+2, где k=0,1,2,3,… 7: n=4k+3, где k=0,1,2,3,… Находим, что 3^2003=(3^2000)*(3^3)=(3^ (500*4)*(3^3) ~ 1*7=7 Итак, N=2^2003 (1+3^2003+(2^2003) (2^2003) ~ 8 (1+7+8*8)=8+8*7+8*8*8=8+56+512 ~ 8+6+2=16 ~ 6 Ответ: последней цифрой нашего числа будет 6. Замечание: Разница между предложенным Вами и моим вариантом заключается в том, что я не исследовал степени чисел 12, 26 и 38 либо чисел 2, 6 и 8. Я рассматривал только степени чисел 2 и 3, что, как мне кажется, значительно проще.
