Итак, сначала введу ряд свойств этих самых остатков. Если a при делении на b дает остаток r1, а c при делении на b дает остаток r2, то из этого следует вот что: 1) a+b дает остаток r1+r2 при делении на b.2) Аналогично остаток разности равен разности остатков.3) ab дает остаток r1*r2 при делении на b. То есть остаток произведения равен произведению остатков. Теперь возвращаемся к нашему примеру. Сначала определим, какие остатки может давать K при делении на 4. Очевидно, что это остатки 0, 1, 2 и 3. Какие же остатки будет давать квадрат K при делении на 4? Воспользуемся названными свойтсвами. Пусть K дает остаток 0 при делении на 4. Тогда K^2 дает остаток 0*0=0. (Напомню еще раз, что остаток произведения равен произведению остатков) Пусть K дает остаток 1 при делении на 4. Тогда K^2 или что то же самое, K*K дает остаток 1*1=1 при делении на 4. Пусть K дает остаток 2 при делении на 4. Что же в этом случае? По правилу произведения остатков получаем, что K^2 дает остаток 4 при делении на 4. Но остатка 4 не бывает, понятное дело, 4 дает остаток 0 при делении на 4, поэтому в этом случае получаем остаток 0. Рассмотрим последний случай. Пусть K дает остаток 3 при делении на 4.K^2 дает остаток 3*3=9 при делении на 4. Но остатка 9 не бывает, 9 дает остаток 1 при делении на 4. Поэтому здесь остаток 1.
