Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, 3, 4, …. Ставится всоответствие по определенному закону некоторое действительное число x n, тосовокупность действительных чисел x 1 , x 2 , x 3 , … . , x n-1 , x n , x n+1, … ., расположенных в порядке возрастания номеров n, называется элементамиили членами последовательности. Последовательность считается заданной, если данспособ вычисления любого его члена по его известному номеру. Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый еепоследующий член больше предыдущего. Числовая последовательность называетсямонотонно убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которойкаждый последующий член получается из предыдущего прибавлением к нему одного итого же числа, называемого разностью прогрессии. Разность прогрессииобозначается буквой d. Если последовательность a 1, а 2, а 3 , … , а n , … , являетсяарифметической прогрессией, разность которой d=a n+1 — a n , то любой член а nэтой прогрессии вычисляется по формулеa n=a 1+(n-1) d… Сумма S n первых ее членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле S n=1. Если в последней формуле заменить a n его значением из формулы a n=a 1+(n-1) d, то будем иметь: .2. Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, в которойкаждый последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то жечисло, называемое знаменателем прогрессии. Знаменатель прогрессии принято обозначать буквой q. Если последовательность а 1, а 2, а 3 , … , а n, а n+1 , … является геометрической прогрессией, знаменатель которой то любой член этой прогрессии аn вычисляется по формулеan=a1 qn-1. Сумма Sn первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: или, если в последней формуле a n заменить через a 1 q n-1, то получим 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Геометрическая прогрессия, знаменатель которой по абсолютной величине меньшеединицы, называется бесконечно убывающей. Следует однако отметить, что бесконечно убывающая прогрессия будет убывающейпоследовательностью (в том смысле, как это определено в начале темы) лишьтогда, когда ее первый член a 1 и знаменатель q положительны. Если последовательность а 1, а 2, а 3 , … ,an, … является бесконечноубывающей геометрической прогрессией, то суммой S этой прогрессии называетсяпредел суммы Sn первых n членов ее при неограниченном возрастании числа n, тоестьlim S n=lim, где — 1 < q < 1
