Вторая производная. Если производная f ' (x) функции f (x) дифференцируема в точке (x0), то ее производная называется второй производной функции f (x) в точке (x0), и обозначается f ' (x0). Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если ее график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y=f (x) в любой точке (x0 , f (x0) , x0 (a, b). Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если ее график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y=f (x) в любой точке (x0 , f (x0) , x0 (a, b). Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции. Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда: если f ' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b); если f ' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b). Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f ' (x0), то f ' (x0)=0. П р и м е р. Рассмотрим график функции y=x3: Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'=6x, но 6x > 0 при x > 0 и 6x < 0 при x < 0, следовательно, y' > 0 при x > 0 и y' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y=x3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x=0 является точкой перегиба функции y=x3.
