Существует ли треугольник с высотами 4 7 10

Не существует. Его площадь S=1/2*a*h1=1/2*b*h2=1/2*c*h3. Отсюда a=2S/h1, b=2S/h2, c=2S/h3. Значит, b+c=2S*(1/7+1/10)=2S*17/70. Но 17/70 меньше 1/4, так как 17*4=68 меньше 70. В любом треугольнике сумма двух сторон БОЛЬШЕ третьей стороны.