Если «сесть» в одну — произвольно выбранную — вершину выпуклого N — угольника, и провести все диагонали из этой вершины, то их будет ровно N-3 — по числу «несоседних» вершин. Одна вершина — это та, на которой я «сижу», и две — соседние — на концах сторон, выходящих из этой вершины, все остальные N-3 вершины можно соединить с «нашей» вершиной, проведя диагональ. Например, в четырехугольнике 4 вершины, и из каждой вершины можно провести 4 — 3=1 диагональ. При этом получается ровно N — 2 треугольника (для четырехугольника 1 диагональ делит его на 2 треугольника, для пятиугольника 2 диагонали делят его на 3 треугольника, и так далее) Если это не понятно, можно поступить так- пронумеруем вершины по часовой стрелке, обозначив «нашу» вершину (то есть ту, в которой мы «сидим") номером 1. Первая диагональ соединит вершины 1 и 3, вторая 1 и 4, последняя возможная диагональ (N — 3 тья, всего диагоналей N — 3) соединит вершины 1 и N — 1. Каждая следующая диагональ добавляет 1 треугольник, и когда мы провели последнюю, получив N — 3 треугольника, остался еще одни треугольник с вершинами с номерами 1, N — 1, N. То есть всего N — 2 треугольника. Ясно, что сумма углов этих треугольников равна сумме углов N — угольника. То есть 180*(N — 2). Для 4 угольника это 360, для пятиугольника 540, и так далее.
