Сначала как раз про уравнения. Чтобы было понятно, в чем тут китайская хитрость. Смотрите чертеж, левый рисунок. a=900; b=300; z=x/a; t=b/a; В общем случае задача сводится к кубическому уравнению (раз просили — без уравнений, то и не буду я показывать, как это получается).z^2*(z+t)=4*t; здесь по условию t=1/3; z^2*(z+1/3)=4/3; Невооруженным глазом видно, что уравнение имеет корень z=1; если кому-то не лень — проверьте, что другие корни не вещественные. (Есть и более важная задача — при каких целых t уравнение имеет целые корни.) Вот теперь, зная наперед китайские хитрости, я «покажу», как «найти» это решение геометрически. (Сразу предупреждаю, что все дальнейшее — плод 15 минутного размышления, набрать и нарисовать было дольше.) 1). Берем квадрат и на одной из сторон как на диаметре, построим полуокружность. Из вершины противоположной стороны проведем касательную, и продолжим ее до пересечения с продолжением стороны. Очень просто показать, что все условия задачи (t=1/3) выполнены (раз уж вы просили без, вычислений я опять не привожу, но сразу говорю — они не выходят за рамки теоремы Пифагора). Таким образом, мы показали, что поперечник города равен 900. (ну, понятно же, если еще не сообразили — от северных ворот на юг откладываем 900, проводим перпендикуляр, точку соединяем с «точкой видимости», и получаем «еще одно дерево», и «еще одину окружность». Но дерево только одно, поэтому полученная точка совпадает с южными воротами).2). Есть и другой, не менее изящный геометрический способ «решения». Он основан на том приятном факте, что образованный треугольник — «египетский» . (Здесь, между прочим, возникает уже совсем интересная задача — есть ли такие параметры t, дающие целочисленное решение, помимо тех, что приводят к Пифагоровым треугольникам. Впрочем, ее решение очевидно отрицательное.) В треугольнике со сторонами (3,4,5) разность между катетами составляет как раз 1/3 от меньшего катета. Но нужно еще доказать вот что — если на катете длины 4 «египетского» треугольника отложить от вершины прямого угла 3 и на этом отрезке, как на диаметре, построить окружность, то он коснется гипотенузы. Даказательство этого приведено на третьем рисунке и основано на подобии исходного треугольника и треугольника, «в который вписывается» построенная окружность, а также на том факте, что для «египетского» треугольника радиус вписанной окружности равен 1. Легко видеть, что поперечник города х равен диаметру окружности, вписанной в «египетский» треугольник «в масштабе 3/2", то есть 3. Поэтому вписаная в достроенный треугольник AB'C' окружность совпадает с городской стеной. (Можно и «дедовскими» способами. Центр этой окружности лежит на расстоянии 3/2 от точки В, то есть на расстоянии 4 — 3/2=5/2 от точки С, и вместе с расстоянием до АС и отрезком АС от С до точки касания, образует треугольник, подобный «египетскому», то есть его стороны (3/2, 2, 5/2). Легко видеть, что расстояние от центра до АС как раз равно радиусу 3/2.) Вот собственно и все. Хитрый китаец Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке (с ума сойти, что знали уже тогда хитрые китайцы), просто отмерил вглубь города от южных ворот утроенное расстояние от точки видимости до этих ворот, тот есть 900 шагов, и попал на северные ворота по только что доказанному свойству «египетского» треугольника. А вот уже настоящий вопрос. Почему я все слова «решение» , «доказательство» и прочее, беру в кавычки? Да потому, что все это — не что иное, как способ подбора решения с последующим геометрическим обоснованием. Конечно, от этого такие решения не становятся не верными. Но в них есть один существенный изъян, который невозможно преодолеть «чисто геометрически». Это — единственность решения. Ее доказать не получится таким способом. Только алгебраически. Если вам скажут, что такой способ есть — можете умно покивать головой и посмеяться про себя (если вы — воспитаный человек, конечно, для невоспитаных я рецептов не даю
