Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны 6 см и 8…

Действительно, радиус вписанной в ромб окружности — это высота в прямоугольном треугольнике, образованном половинками диагоналей и боковой стороной. Центр окружности лежит в точке пересечения диагоналей, и радиус перпендикулярен боковой стороне (как к касательной). Остается найти высоту к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, в котором известны 1. Катеты 3 и 4, то есть гипотенуза 5 (опять 3,4,5 — египетский треугольник), а высота 3*4/5 (удвоенная площадь, делить на гипотенузу)=12/5; r=2,4; 2. Гипотенуза a и угол alfa/2 (ясно, что диагональ в ромбе делит угол пополам); Тем же способом (удвоенная площадь, делить на гипотенузу) r=a*cos (alfa/2)*a*sin (alfa/2) /a=(a/2)*sin (alfa); Отмечу, что можно все получить «как-бы проще» площадь РОМБА a^2*sin (alfa), а периметр 4*a, отсюда r=2*S/P=(a/2)*sin (alfa); Но можно ЕЩЕ проще. ВЫСОТА РОМБА равна a*sin (alfa), а диаметр окружности, касающейся 2 параллельных прямых, равен расстоянию между ними. То есть мы УЖЕ все нашли, r=a*sin (alfa) /2;