Окружность проходит через середину гипотенузы AB и катета BC прямоугольного…

Введем систему координат: C (0,0) , B (0,a) , A (b,0) , AC=b, BC=a. Середина гипотенузы имеет координаты D (b/2; a/2), середина BC — E (0,a/2). Середина DE — F (b/4,a/2). Центр окружности лежит на прямой, проходящей через F, и перпендикулярной DE. Так как Рассмотрим радиус окружности, который касается AC. Он перпендикулярен AC, но он будет перпендикулярен и DE, значит, точка касания лежит на прямой, проходящей через F перпедикулярно DE, и находится в точке пересечения этой прямой с AC. Координаты этой точки G (b/4; 0), значит, точка касания делит катет в отношении 1:3. Возможно, решение слишком сложное, но более простое, к сожалению, на ум не приходит.