Помогите, пожалуйста, доказать, что три медианы произвольного треугольника ABC…

Если соединить концы двух медиан, то получится средняя линяя, которая равна половине основания и параллельна ему ("основанием» названа сторона, из концов которой выходят медианы). Поэтому подобны два треугольника, вершины которых — в точке пересечения медиан, а сторонами являются — основание и два отрезка медиан (у одного) и средняя линия и два других отрезка медиан (у второго тр-ка). То есть стороны одного в два раза больше сторон другого. Поэтому точка пересечения медиан делит каждую медиану в пропорции «два к одному». А это означает, что эта точка не зависит от выбора пары медиан, то есть все три медианы проходят через одну точку.