Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Проведем из него радиусы в точки касания (вписанной окружностью) М — со стороной АВ, Р — со стороной ВС и — точно такой же радиус в точку касания с KL — пусть это точка N. Теперь — веселый трюк Поскольку четырехугольник AKLC — вписанный, то сумма углов AKL и АСВ равна 180 градусов. Равссмотрим теперь четырехугольник MKNO. В нем 2 угла прямые, поэтому сумма углов MON и AKL тоже 180 градусов. Поэтому угол MON равен углу АСВ. Но это — еще не все четырехугольник KMON очевидно симметричен относительно КО. Поэтому угол КОN равен С/2 (С — угол АВС). Отсюда KN=r*tg (C/2); r — вписанной окружности Совершенно так же показывается, что угол LON равен А/2, где А — угол ВАС, и NL=r*tg (A/2); Таким образом, KL=r*(tg (C/2)+tg (A/2) , где А и С, а также r — это углы и радиус вписанной окружности в треугольнике АВС, у которого известны все стороны (7,9,10) остается просто вычислить эти величины Но есть еще один — не слишком важный, но приятный — трюкДело в том, что АС=r*(1/tg (C/2)+1/tg (A/2)=KL/ (tg (A/2)*tg (C/2); ПоэтомуKL=AC*tg (A/2)*tg (C/2); так проще считать Ну, меленькая пауза на расчеты (красоты наверняка закончились). Воспользуемся формулой tg (A/2)=корень (1-cosA) / (1+cosA) и вычислим cosA из теоремы косинусов — напротив угла А лежит сторона ВС=9, имеем 9^2=10^2+7^2 — 2*10*7*cosA; cosA=(10^2+7^2 — 9^2) / (2*7*10) 1-cosA) / (1+cosA)=(2*7*10 — (10^2+7^2 — 9^2) / (2*7*10+(10^2+7^2 — 9^2)=9/26; tg (A/2)=корень (9/26); Аналогично для угла С tg (С/2)=корень (1-cosС) / (1+cosС); 7^2=10^2+9^2 — 2*9*10*cosC; cosC=(10^2 — 7^2+9^2) / (2*9*10) 1-cosC) / (1+cosC)=(2*9*10 — (10^2 — 7^2+9^2) / (2*9*10+(10^2 — 7^2+9^2)=6/39; tg (С/2)=корень (6/39); KL=10*корень (9/26)*корень (6/39)=30/13; надо же, корни все пропали А пропали они — потому что надо сначала умом работать, а потом другими частями тела. Продолжив игру с углами, можно легко обнаружить, что угол BLK=A, а угол BKL=C. В самом деле, мы уже показали, что (из-за того, что АСKL — вписанный четырехугольник) угол KLC+ угол ВАС=180 градусов, но угол BLK+ угол KLC=180 градусов, поэтому угол BLK=угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. (По-моему тут решение получить можно проще.) Для начала вычислим BM=BP=x; АМ=АК=y; CK=CP=z — отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.x+y=7; y+z=10; x+z=9; y — x=1; 2*y=8; y=4; x=3; z=6; нам понадобится x. Опять веселые трюки Периметр треугольника BKL равен 2*x=6 а вот сами докажите ну, ладно, подскажу — KM=KN и NL=LP, поэтому BK+KL+BL=BK+KN+NL+BL=MB+BP=2*x) Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL=KL*7/10; BK=KL*9/10, периметр равен KL*26/10; Поэтому KL*26/10=6; KL=30/13;
