Точки M и N лежат по разные стороны от прямой А, причем отрезок MN делится точкой…

Если MN перпендикулярен А, B — точка пересечения MN и A, то MB и NB — перпендикуляры к прямой A, по условию, MB=NB. Если MN не перпедикулярен A, B — точка пересечения MN и A, MC и ND — проекции на A точек M и N. Тогда MCB и BND — прямоугольные треугольники, в которых гипотенузы MB и NB равны, и равны также углы MBC и NBD как вертикальные. Тогда эти треугольники равны, и катеты MC и ND, лежащие против равных углов, также равны, что и требовалось.