На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы l=2*a*c*cos (B/2) / (a+c) здесь, и далее в таких случаях В — это угол АВС) Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл — это чертеж к задаче. По условию 5/6=МК/СК=МВ/СВ=(АВ/ВС) /2; АВ/ВС=10/6=5/3. Поэтому треугольник «египетский», подобный (3,4,5). Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС=4, АВ=5 это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же). Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ=МС=с/2, с — гипотенуза АВС, то есть с=АВ, и заодно a=BC, b=AC для краткости записи), получимВК=2*a*(c/2)*cos (B/2) / (a+c/2)=2*a*c*cos (B/2) / (2*a+c); Аналогично для треугольника АВСBL=2*a*c*cos (B/2) / (a+c); Делим одно на другое, получаемВК/BL=(a+c) / (2*a+c); Дальше — очень простые выкладки (я намеренно не подставляю числа) ВК=BL*(a+c) / (2*a+c); KL=BL — BK=BL*(1 — (a+c) / (2*a+c)=BL*a/ (2*a+c); KL/BK=a/ (a+c); При а=3; c=5; KL/BK=3/8; Примечание. То, что треугольник «египетский», на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ=с/2. В задаче задано отношение k=5/6=МК/СК=ВМ/BC=c/ (2*a); то есть c/a=2*k; Далее в решении получено соотношение KL/BK=a/ (a+c); легко привести это к видуKL/BK=1/ (2*k+1); при к=5/6; KL/BK=1/ (2*(5/6)+1)=1/ (8/3)=3/8; В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) — это тоже прямоугольный треугольник. Я принимаю, что a=5 можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат). Тогда 2*k=13/5; k=МК/СК=13/10; KL/BK=1/ (2*k+1)=1/ (13/5+1)=5/18; Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет — я получил общее решение для произвольного k=МК/СК.
