Одним из свойств простых чисел является утверждение, что множество простых чисел бесконечно (т.е. среди простых чисел нет наибольшего). Доказал это свойство простых чисел еще Евклид, используя метод отпротивного. Доказательство выглядит примерно так. Предположим, чтомножество простых чисел конечно, остальные числа являются составными. Найдем произведение всех существующих простых чисел и к этому результатудобавим единицу. Понятно, что получившееся число больше любого изпростых. Из предположения, что множество простых чисел конечно, следует, что получившееся число составное. Но если оно составное, то должно приразложении на множители содержать простые множители. Однако это не могутбыть множители, которые использовались при образовании этого числа, т.к. к результату была добавлена 1, и, следовательно, произведение уже неделится нацело ни на одно из них (будет получаться остаток 1). Такимобразом, приходим к выводу, что существуют иные простые числа, помимоиспользованных. Например, 2*3*5*7+1=211. Число 211 само является простым.2*3*5*7*11+1=2311. Число 2311 также простое.[ Т. Е. Произведение всех подряд идущих простых чисел отпервого и до определенного и плюс 1 всегда будет давать простое число? Проверяем: 2*3+1=7,2*3*5+1=31. Но если числа идут не от первого простого и не подряд, то в результате простое число не всегда получается: 3*5*7+1=106 (составное) 2*5*7+1=71 (простое) 2*3*7+1=43 (простое) 3*5*7*11+1=1156 (составное) 3*11*13+1=430 (составное) 2*3*11*13+1=859 (простое) Получается, что число 2 в этой формуле (n=p1*p2*… +1) всегда приводит к простому числу в результате, независимо оттого, какие взяты остальные простые числа. Без него всегда получаетсясоставное, также независимо от того, как и каком количестве взятыпростые.]
