Вершина M пирамиды MABCD проектируется в точку O. Введем систему координат следующим образом: точку O примем за начало координат, оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания, а ось Oz— вдоль высоты пирамиды OM. Выразим координаты точек: A (–4; –2; 0) , B (–4; 2; 0) , C (4; 2; 0) , D (4; –2; 0) , M (0; 0; 2 15 ,) R (2; 1; 15 .) Отрезок AR является высотой в равностороннем треугольнике AMC, поэтому прямая MR перпендикулярна ребру AR искомого двугранного угла. Проведем в треугольнике ADR высоту DH. Тогда останется найти угол между прямыми MR и DH. Найдем координаты векторов: MR={2; 1; — корень из 15 }AR={6; 3; корень из 15 }DA={- 8; 0; 0}. Так как векторы AH и AR — коллинеарны, то AH=k AR=⋅={6k; 3k; корень из 15 k}Далее из равенства DH=DA+AH получаем DH=− {6k- 8; 3k; корень из 15 k }Теперь, используя условие DH ⊥ AR имеем уравнение 6 (6k – 8)+9k+15k=0. Отсюда k=0,8 и DH={−3,2; 2,4; 0,8 корень из 15 . }Так как MR и DH — направляющие векторы прямых MR и DH соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми воспользуемся формулой: cos ϕ=в числителе | — 6, 4+2, 4 — 12 | в знаметалеле под первым корнем: корень из 20 умнижить на корень из 25,6 получаем cos ϕ=корень из 2 на 2Значит, угол между прямыми MR и DH и угол между данными плоскостями равен=π/4Ответ: π/4
